12.1. Цифровые автоматы
Цифровые автоматы являются основой современных вычислительных систем, обеспечивая выполнение разнообразных операций, включая арифметические вычисления. Одной из ключевых областей применения цифровых автоматов является реализация алгоритмов двоичной арифметики, которая используется для выполнения математических операций на уровне аппаратного обеспечения.

Цифровой автомат (или конечный автомат) - это абстрактное вычислительное устройство, которое принимает последовательность входных символов и, основываясь на текущем состоянии и входном символе, переходит в новое состояние и генерирует выходной символ. Существует два основных типа автоматов:

1. Автомат Мура: выходной сигнал зависит только от текущего состояния.
2. Автомат Мили: выходной сигнал зависит от текущего состояния и текущего входного символа.

Основные компоненты цифрового автомата:

1. Конечное множество состояний: множество всех возможных состояний автомата.
2. Алфавит входных символов: множество всех возможных входных сигналов.
3. Функция переходов: определяет, в какое новое состояние перейдет автомат, исходя из текущего состояния и входного символа.
4. Функция выхода: определяет выходной сигнал автомата в зависимости от текущего состояния (для автомата Мура) или от текущего состояния и входного символа (для автомата Мили).
5. Начальное состояние: состояние, в котором находится автомат до начала обработки входных символов.

12.2. Алгоритмы выполнение операций двоичной арифметики
Основные операции двоичной арифметики:

1. Сложение: базовая операция, при которой два двоичных числа складываются для получения суммы.
2. Вычитание: операция, при которой одно двоичное число вычитается из другого.
3. Умножение: операция, при которой одно двоичное число умножается на другое.
4. Деление: операция, при которой одно двоичное число делится на другое.

Алгоритм сложения двоичных чисел
Алгоритм сложения двоичных чисел можно реализовать с использованием простого конечного автомата. Рассмотрим основные шаги:

1. Побитное сложение: сложение соответствующих битов двух чисел, начиная с младших разрядов.
2. Перенос: если результат сложения двух битов превышает 1, то возникает перенос в следующий разряд.

Пример конечного автомата для сложения двоичных чисел:

• Состояния: `S0` (нет переноса), `S1` (есть перенос).
• Входные символы: комбинации битов (0 и 1) двух чисел, а также возможный перенос из предыдущего разряда.
• Выходные символы: результат сложения соответствующих битов и возможный перенос в следующий разряд.

Алгоритм вычитания двоичных чисел
Алгоритм вычитания двоичных чисел может быть реализован с использованием метода дополнения до двух. Этот метод включает следующие шаги:

1. Инверсия: инвертирование всех битов вычитаемого числа.
2. Сложение единицы: добавление 1 к инвертированному числу.
3. Сложение с уменьшаемым: сложение полученного числа с уменьшаемым числом.

Пример конечного автомата для реализации вычитания с использованием метода дополнения до двух:

1. Состояния: аналогичны состояниям автомата для сложения.
2. Входные символы: биты уменьшаемого числа и дополненного числа (инвертированного вычитаемого + 1).
3. Выходные символы: результат сложения и возможный перенос.

Алгоритм умножения двоичных чисел
Умножение двоичных чисел можно реализовать с помощью последовательного сдвига и сложения. Основные шаги включают:

1. Младший бит множителя: если бит равен 1, то частичное произведение добавляется к результату.
2. Сдвиг влево: частичное произведение сдвигается на один разряд влево.
3. Сдвиг множителя вправо: множитель сдвигается на один разряд вправо.
4. Повторение: процесс повторяется до тех пор, пока все биты множителя не будут обработаны.

Пример конечного автомата для реализации умножения:

1. Состояния: состояния автомата включают текущее положение множителя и частичного произведения.
2. Входные символы: биты множителя.
3. Выходные символы: частичные произведения и результат умножения.

Алгоритм деления двоичных чисел
Деление двоичных чисел можно реализовать с использованием метода вычитания. Основные шаги включают:

1. Сравнение делимого и делителя: если делимое больше или равно делителю, производится вычитание.
2. Вычитание делителя из делимого: если делимое больше или равно делителю, из делимого вычитается делитель, а в соответствующем разряде частного устанавливается
3. Сдвиг делителя: делитель сдвигается вправо на один разряд, и процесс повторяется до тех пор, пока все разряды делимого не будут обработаны.
4. Результат: после завершения всех шагов остаток в делимом представляет остаток от деления, а установленное частное является результатом деления.

Пример конечного автомата для реализации деления:

1. Состояния: состояния автомата включают текущие значения делимого и делителя, а также позицию текущего разряда.
2. Входные символы: биты делимого и делителя.
3. Выходные символы: частное и остаток.

Реализация цифровых автоматов для двоичной арифметики
Сложение и вычитание
Для реализации сложения и вычитания используются следующие компоненты:

1. Регистр для хранения состояния: сохраняет текущее состояние автомата.
2. Регистр для хранения операндов: сохраняет значения операндов.
3. Логические схемы для выполнения сложения и вычитания: осуществляют арифметические операции.

Пример структуры автомата для сложения:

• Входные регистры: содержат двоичные числа A и B.
• Комбинаторная схема: выполняет побитное сложение с учетом переноса.
• Регистр состояния: сохраняет текущее состояние (S0 или S1).

Для вычитания используется аналогичная структура с дополнительной схемой для инвертирования битов вычитаемого числа и добавления 1.

Умножение
Умножение может быть реализовано с помощью следующих компонентов:

1. Регистр множителя и множимого: хранят значения операндов.
2. Сдвиговые регистры: выполняют сдвиги множителя и частичного произведения.
3. Схема сложения: выполняет сложение частичного произведения и текущего значения результата.

Пример структуры автомата для умножения:

• Входные регистры: содержат множитель и множимое.
• Сдвиговые регистры: осуществляют сдвиг множителя и частичного произведения.
• Сумматор: складывает частичные произведения.
• Регистр состояния: сохраняет текущее состояние и управляет процессом умножения.

Деление
Деление реализуется с помощью следующих компонентов:

1. Регистр делимого и делителя: хранят значения операндов.
2. Сдвиговые регистры: выполняют сдвиги делителя и частного.
3. Схема вычитания: выполняет вычитание делителя из делимого.
4. Схема сравнения: определяет, когда делимое становится меньше делителя.

Пример структуры автомата для деления:

• Входные регистры: содержат делимое и делитель.
• Сдвиговые регистры: осуществляют сдвиг делителя и частного.
• Вычитатель: выполняет вычитание делителя из делимого.
• Сравнитель: определяет, когда прекратить процесс деления.
• Регистр состояния: сохраняет текущее состояние и управляет процессом деления.

Оптимизация цифровых автоматов

Минимизация состояний
Одним из методов оптимизации является минимизация числа состояний автомата. Это достигается путем анализа эквивалентных состояний и их объединения.

Уменьшение задержек
Для уменьшения задержек в цифровых автоматах применяются следующие методы:

1. Параллелизм: выполнение нескольких операций одновременно.
2. Конвейеризация: разделение операции на несколько стадий, выполняющихся последовательно.

Синтез цифровых автоматов
Синтез цифровых автоматов включает в себя следующие этапы:

1. Описание алгоритма: формализация алгоритма арифметической операции.
2. Определение состояний и переходов: построение таблицы состояний и переходов.
3. Проектирование схемы: создание логической схемы, реализующей заданный алгоритм.
4. Верификация: проверка корректности работы схемы на тестовых примерах.

Примеры реализаций цифровых автоматов

Пример 1: Реализация сложения
Для реализации сложения двух 4-битных чисел можно использовать следующую структуру:

1. Входные регистры: два 4-битных регистра для хранения операндов A и B.
2. Схема побитного сложения: 4-битный сумматор с учетом переноса.
3. Регистр результата: 5-битный регистр для хранения результата (4 бита суммы и 1 бит переноса).

Пример 2: Реализация умножения
Для реализации умножения двух 4-битных чисел можно использовать следующую структуру:

1. Входные регистры: два 4-битных регистра для хранения множителя и множимого.
2. Сдвиговые регистры: 8-битные регистры для частичных произведений.
3. Сумматор: схема для сложения частичных произведений.
4. Регистр результата: 8-битный регистр для хранения результата.

Пример 3: Реализация деления
Для реализации деления двух 4-битных чисел можно использовать следующую структуру:

1. Входные регистры: два 4-битных регистра для хранения делимого и делителя.
2. Сдвиговые регистры: 4-битные регистры для делимого и частного.
3. Вычитатель: схема для вычитания делителя из делимого.
4. Сравнитель: схема для сравнения делимого и делителя.
5. Регистр результата: 4-битный регистр для хранения частного и остатка.

Цифровые автоматы являются важным инструментом для реализации алгоритмов двоичной арифметики на уровне аппаратного обеспечения. Правильное проектирование и оптимизация таких автоматов позволяют добиться высокой производительности и эффективности вычислительных систем. В данной работе рассмотрены основные алгоритмы двоичной арифметики и приведены примеры их реализации с использованием цифровых автоматов.